Partages Mathématiques et autres

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Messagepar renocochon » 06 Oct 2014, 18:47

Bonjour je voudrais partager ma passion des mathématiques et mécanique avec vous. C'est pourquoi je crée un sujet pour pouvoir échanger sur des problèmes ou même démos qui vous tient à cœur.

Je vais commencer par une démonstration plutôt simple qui me plait toujours particulièrement : l’existence et l'unicité de la partie entière et fractionnaire.

Existence :

Soit un x∈ℝ fixé
On considère l'ensemble F={k∈ℤ | k≤x}
Il est clair que F⊂ℤ
or ℤ n'est ni majoré ni minoré dans ℝ donc :
. ∃ k1∈ℤ tq k1>x
. ∃ k2∈ℤ tq k2≤x
(vient de la négation de la définition de majorant et minorant)
on a donc ∀k∈F k1>x≥k
.. F est donc majorée par k1
k2∈F ⇒ .. F≠∅
F est donc une partie de ℤ non vide et majorée (dans ℤ), il admet donc un plus grand élément.
Soit p=max F
... p∈F ⇒ p≤x
... p+1∉F ⇒ p+1>x

Ainsi p≤x<p+1
⇒ 0≤x-p<1

Posons α=x-p ∈ [0,1[ et x=p+α
Existence de ⌊x⌋ et {x} montrée

Unicité :

Triviale (on prend deux couples (p,α),(p',α')∈ℤx[0,1[ et on montre que (p,α)=(p',α')). Si vous voulez plus de détails dites le moi.
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Messagepar Min Hee » 06 Oct 2014, 18:55

C'est dommage que t'explique pas mieux, c'est pas inintéressant mais il y a beaucoup de termes difficiles à comprendre pour les non-initiés !!!
Tu peux mettre un problème plus facile à comprendre ?
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Messagepar renocochon » 06 Oct 2014, 19:05

J'ai pensé à un problème assez intéressant sur l'optique qui m'a toujours étonné :

C'est une méthode pour mesurer la distance entre le fond d'un vieux miroir et le miroir en lui-même juste grâce à une équerre et un feutre qui n'utilise que les lois de Descartes. Je vais envoyer le problème avec des schémas c'est très intéressant et facile à comprendre.
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Messagepar Un passant qui passe » 06 Oct 2014, 19:29

Pour ceux que ça intéresse (et qui pigent l'anglais), je recommande cette chaîne YT.
Sinon c'est bien ce que je pensais : tu utilises des notations et des termes qui ne sont familier à aucun d'entre nous (ça me rappelle même quelqu'un qui aime nous pomper l'air avec ses pavés bourrés de références^^).

Le mieux pour commencer (et navré si je te donne des conseils de merde) c'est de commencer très bas, sans avoir besoin de comprendre les notations ou symboles (ton premier post étant l'exemple parfais de ce qui ne fallait pas faire^^).
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Messagepar renocochon » 06 Oct 2014, 19:34

ok je vais faire attention et peut être faire une mini introduction sur les symboles importants et faciles à comprendre.

Voici un problème intéressant :
On veut déterminer l'épaisseur d'une glace en verre épais, argenté sur la face inférieure. On veut déterminer l'épaisseur totale de la glace (avec le cadre) sans devoir retirer quoi que ce soit.
La question est : Comment peut-on mesurer cette épaisseur seulement à l'aide d'un feutre et d'une équerre ?

On fait une marque ponctuelle A sur la glace, puis en se servant du bord d'une équerre perpendiculaire à la glace, comme viseur, on cherche en déplaçant l'équerre à obtenir l'image de M dans la ligne de visée.

On a le schéma suivant :
Image
- nAir représente "l'indice de réfraction" de l'air : l'indice de réfraction décrit le comportement de la lumière dans l’environnement associé; plus l'indice est élevé, plus la vitesse de la lumière dans cet environnement est faible. Par définition l'indice de l'air est 1
- n représente l'indice de réfraction du verre qui est égal à 3/2.


On obtient finalement une longeur AB=2cm : Comment trouver à partir de là l'épaisseur e de la glace ?

Partons par un raisonnement logique : si l'observateur voit le point en utilisant le viseur, c'est qu'un rayon de lumière émit ou transmit par le point arrive jusqu'à l’œil. Il y aurait donc un rayon comme tracé si dessous arrivant jusqu'à l'oeil.
Image

Cela voudrait donc dire qu'il existe un rayon partant de A et arrivant jusqu'à B.
Cependant, le rayon ne peut arriver parallèle à la surface de la glace sinon d'après les lois de diffraction le rayon ne peut sortir à l'extérieur (cela paraît assez évident comment un rayon parallèle à une surface peut il la traverser).

Or d'après les lois de Descartes un rayon incident en réflexion garde le même angle : explication ci dessous :
Image

La trajectoire de la lumière ne peut que être la suivante :
Image

On connait donc la trajectoire de la lumière jusqu'à l'oeil.


On a Image
or d'après la seconde loi de Descartes :
Image

On applique cette loi ici pour le rayon passant en B : Image or nair = 1

On a donc :
Image
Image
Image
or Image et donc Image

par simplification de la formule (si vous voulez savoir comment demandez moi) on obtient finalement :
Image
Avec n l'indice du verre, α l'angle de l'équerre, et AB la distance séparant le point du bout de l'équerre.
Ainsi si on a AB=2cm alors par le calcul avec n=3/2 et α=π/6 (en gros 30°) on obtient e = 1,9 cm
Modifié en dernier par renocochon le 06 Oct 2014, 20:40, modifié 1 fois.
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Messagepar Pedrobear » 06 Oct 2014, 19:59

renocochon a écrit:k2∈F ⇒ .. x≠∅

C'est un F à la place du x. x est un réel donc ça n'a pas trop de sens x)

Si ton post est un bait, je te donne une mention spéciale. J'ai encore jamais vu ça..

Si c'en n'est pas un, tu peux montrer des trucs que tout le monde connaît mais dont on ne se rappelle plus de la démo genre le théorème de Pythagore (ça se fait très bien avec des produits scalaires) ou.. ton Cauchy-Schwartz que t'as en signature en mode dégueu, la démonstration est vachement classe et abordable !
(Voilà ce qui me vient à l'esprit pour le moment. Ya sûrement plein d'autres trucs funs et simples après.. o: )
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Messagepar renocochon » 06 Oct 2014, 20:44

Merci c'est F qui est non nul. En effet, je peux faire la démo de Cauchy-Schwartz prochainement (même si je peux faire par le produit scalaire, le polynôme ira bien)

Juste une intro sur les notations de base que j'ai utilisé :

- ∀ : pour tout. Par exemple ∀x veut littéralement dire "pour tout x", "pour n'importe quel élément nommé x".
- ∃ : il existe. Par exemple ∃x veut littéralement dire "il existe x", "il existe un élément nommé x".

- x∈F : x appartient à F : cela signifie que l'élément x appartient à un ensemble F (on peut voir x comme une bille et l'ensemble comme un sac de billes)
- X⊂F : X est inclu dans F. Très différent de la ligne précédente ! ici X est lui même un ensemble qui a tous ses éléments qui appartiennent à F. On peut donc écrire que : Si X⊂F alors ∀x∈X, x∈F.

Il ne faut jamais oublier qu'on utilise ∈ entre un sous élément et un ensemble d'élément.
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Messagepar GrainderiZ » 06 Oct 2014, 22:15

Ohhh un topic pour faire des révisons mathématiques Oo !!! :ko.o:
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Messagepar Min Hee » 07 Oct 2014, 15:37

Le problème pour calculer l'épaisseur d'une glace en verre était très bien expliqué et plutôt simple à comprendre
sauf une ou deux étapes à la fin que j'ai pas trop compris !!
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Messagepar renocochon » 07 Oct 2014, 19:02

Si il y a quoi que ce soit que vous ne comprenez pas je peux réexpliquer plus en détails
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Messagepar Min Hee » 07 Oct 2014, 19:54

J'ai pas compris, ce passage :

renocochon a écrit:or Image et donc Image
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Messagepar Pedrobear » 07 Oct 2014, 20:39

Min Hee a écrit:J'ai pas compris, ce passage :

renocochon a écrit:or Image et donc Image


Ici il a juste dit que l'indice de réfraction de l'air "nair" était égal à 1 (en vrai il est égal à 1,000277 et des poussières mais c'est clairement négligeable devant les autres termes).
Du coup ça se barre et il divise par l'indice de réfraction du verre n = 1,5 de chaque côté o:

C'est pas le point le plus dur de la démonstration. J'ai lu viteuf et la ligne du dessous a l'air moins immédiate que celle-ci xD

EDIT : D'ailleurs, ce serait cool de faire figurer les angles thêta et alpha sur ta figure, on voit rien là.
Si thêta est ton angle vert ci-contre : Image
Alors pour moi tan(thêta) c'est plutôt opposé sur adjacent, donc AB/2e.

Bon je suis fatigué et j'ai pas envie de réfléchir mais je pense que ça pourrait être encore mieux expliqué :mrgreen:
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Re: Partages Mathématiques et autres

Messagepar Min Hee » 07 Oct 2014, 22:01

Ah oui, en fait j'avais pas vu que "nair" = 1 c'est pour ça ^^. Merci pour l'explication Pedrobear !
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Re: Partages Mathématiques et autres

Messagepar Sachi » 08 Oct 2014, 10:01

Un passant qui passe a écrit:(ça me rappelle même quelqu'un qui aime nous pomper l'air avec ses pavés bourrés de références^^).


Ne compare pas Doji à ce fou ! :koO!: :koO!: :k¬.¬:
Will he still be standing in the end?
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Messagepar Un passant qui passe » 08 Oct 2014, 13:50

Sachi a écrit:Ne compare pas Doji à ce fou !
Allons allons je n'oserai pas, Dôji est mine d'info sérieuses et riches dont je m'interdit formellement de me moquer :mrgreen:


Pour pas flood (comme une certaine gamine qui se reconnaîtra) et puisque le sujet me tiens à cœur, j'ajouterai que les maths se résument (pour moi) à un truc compliqué de chaque côté d'un égal et que dans ces trucs compliqué il y a des bidules dont on ne comprend rien parce qu'on ne sait pas ce qu'ils signifient. Seuls ceux qui maîtrisent ce langage peuvent comprendre, ceux qui ne le connaissent pas pourraient comprendre ce qui se passe pour peu qu'ils aient des bases (わかりますか?).
Ensuite c'est pas que des formules, c'est aussi de la géométrie basique avec lesquels on peut passer de longs instants de réflexion sans écrire le moindre mot ou le moindre symbole hors de portée des niveaux collégiens.

Pour revenir à l'exemple au dessus, j'ajouterai que nulle part il n'y a marqué à quoi correspond alpha (qui est la lettre latine qu'on donne arbitrairement à un angle qu'on recherche et que quand on cherche un angle on met une lettre latine pour faire croire que ça vient de nulle part, parce que "c'est ça la magie des maths") ni à quoi correspond rho ou le petit "e" :roll:
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Re: Partages Mathématiques et autres

Messagepar renocochon » 08 Oct 2014, 18:21

Bon déjà je vais m'excuser pour les imprécisions,
j'avais oublié d'insérer cet image, merci pour les commentaires.
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Sinon Un passant qui passe ce que tu dis m'attriste un peu, les mathématiques sont bien plus qu'un langage, je pense qu'ils sont juste mal enseignés en pré-bac.
De nombreux professeurs balancent des formules et théorèmes sans même les démontrer, en même temps on peut les comprendre, ils n'ont pas le temps. Mais de ce fait, dès le collège les bases d'un élève qui ne pratique pas en dehors sont elles assez superficielles. Il va donc construire sa progression sur un enchaînement non cohérent, d'où l'impression de "magie". Une véritable façon d'apprécier et de pratiquer les mathématiques est de tout reprendre dès le début comme si tu partais de la métaphysique pour tout reconstruire. De ce fait les complexes ne sont plus des nombres avec un i "tombé du ciel", tout est une construction logique.

Par exemple, une fois la démonstration de l’existence des complexes faite (bon certes un petit peu compliquée, des connaissances en topologie sont requises), d'où vient l'exponentielle... tu ne prendra plus les maths pour un simple langage apprit par coeur.

De plus, dans un problème de mathématiques toutes les variables ou constantes sont précisées, au contraire les maths sont très rigoureux sur ce point.
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Re: Partages Mathématiques et autres

Messagepar Kittyscats » 08 Oct 2014, 20:10

Puisque tu parles de base mal acquise, je reviens sur ton idée de lexique des termes mathématiques. Cela sera vraiment fun pour aider à la compréhension des non-initiés.
Genre : Symbole = nom en toute lettre -> correspond à, sert à...
ou un truc approchant

Bien qu'allergique aux mathématiques, je reconnais que cela peut parfois être utile, à vrai dire, si on enseignait à l'école "les maths appliqués" au lieu du bourrage de crane (version formules et fonctions diverses par cœur sans comprendre) habituel, ça attirerait sans doute plus de monde.

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(Au lycée, j'ai eu droit une fois à une démo de maths appliqués sur un problème d'algèbre dont je ne comprenais pas le déroulement. Bilan :
1 - j'avais trouvé ça génial ! J'ai saisi en un rien de temps ce que mon prof n'avait jamais réussi à me faire intégrer
2 - mon prof officiel n'a pas apprécié le changement de méthode et j'ai eu droit à une bulle malgré une démonstration cohérente et un résultat juste.
3 - cela m'a dégoûté définitivement)
un grand merci à Reby pour la signature
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Messagepar lorino » 07 Mars 2015, 23:52

Mais pourquoi on trouve des démo de maths sur ce forum :eek:

Bon alors pour vous faire plaisir une démo où l'on n'a pas besoin du langage mathématique !

Les entiers naturels peuvent être décrits par des énoncés (en français) tels que : « un » « deux », « dix puissance cent » ou « le plus grand nombre premier connu au vingtième siècle »...
Or il y a un nombre fini de mots et donc un nombre fini de phrases qui font moins de 15 mots.
Donc l'ensemble des « nombres entiers naturels descriptibles par une expression de quinze mots ou moins » est fini (vous suivez jusque là ?)

Supposons qu'il existe des entiers qui ne sont pas dans cet ensemble !
Regardons « le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins », qui n'est donc pas dans cet ensemble ... mais en fait si, car cette phrase fait 15 mots ! Ce serait contradictoire, donc notre supposition est fausse (zut alors, pour une fois que je faisais une supposition, voilà qu'elle est fausse :BRpleur3: )

Donc tous les entiers sont dans cet ensemble, et cet ensemble est fini, donc il y a un nombre fini d'entiers :mrgreen:

(remerciements à wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Berry)
myanimelist : http://myanimelist.net/animelist/lorino | my visual novel list : https://vndb.org/u104982/

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♡ Merci à Lena pour cette bannière superbe ♡

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