Partages Mathématiques et autres
Publié: 06 Oct 2014, 18:47
Bonjour je voudrais partager ma passion des mathématiques et mécanique avec vous. C'est pourquoi je crée un sujet pour pouvoir échanger sur des problèmes ou même démos qui vous tient à cœur.
Je vais commencer par une démonstration plutôt simple qui me plait toujours particulièrement : l’existence et l'unicité de la partie entière et fractionnaire.
Existence :
Soit un x∈ℝ fixé
On considère l'ensemble F={k∈ℤ | k≤x}
Il est clair que F⊂ℤ
or ℤ n'est ni majoré ni minoré dans ℝ donc :
. ∃ k1∈ℤ tq k1>x
. ∃ k2∈ℤ tq k2≤x
(vient de la négation de la définition de majorant et minorant)
on a donc ∀k∈F k1>x≥k
.. F est donc majorée par k1
k2∈F ⇒ .. F≠∅
F est donc une partie de ℤ non vide et majorée (dans ℤ), il admet donc un plus grand élément.
Soit p=max F
... p∈F ⇒ p≤x
... p+1∉F ⇒ p+1>x
Ainsi p≤x<p+1
⇒ 0≤x-p<1
Posons α=x-p ∈ [0,1[ et x=p+α
Existence de ⌊x⌋ et {x} montrée
Unicité :
Triviale (on prend deux couples (p,α),(p',α')∈ℤx[0,1[ et on montre que (p,α)=(p',α')). Si vous voulez plus de détails dites le moi.
Je vais commencer par une démonstration plutôt simple qui me plait toujours particulièrement : l’existence et l'unicité de la partie entière et fractionnaire.
Existence :
Soit un x∈ℝ fixé
On considère l'ensemble F={k∈ℤ | k≤x}
Il est clair que F⊂ℤ
or ℤ n'est ni majoré ni minoré dans ℝ donc :
. ∃ k1∈ℤ tq k1>x
. ∃ k2∈ℤ tq k2≤x
(vient de la négation de la définition de majorant et minorant)
on a donc ∀k∈F k1>x≥k
.. F est donc majorée par k1
k2∈F ⇒ .. F≠∅
F est donc une partie de ℤ non vide et majorée (dans ℤ), il admet donc un plus grand élément.
Soit p=max F
... p∈F ⇒ p≤x
... p+1∉F ⇒ p+1>x
Ainsi p≤x<p+1
⇒ 0≤x-p<1
Posons α=x-p ∈ [0,1[ et x=p+α
Existence de ⌊x⌋ et {x} montrée
Unicité :
Triviale (on prend deux couples (p,α),(p',α')∈ℤx[0,1[ et on montre que (p,α)=(p',α')). Si vous voulez plus de détails dites le moi.